Aplikasi Turunan

APLIKASI TURUNAN PADA ILMU EKONOMI, FISIKA, DAN ILMU LAINNYA

Turunan atau Diferensial merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Turunan ini telah berkembang sejak zaman Sir Isaac Newton dan Leibniz. Newton mengembangkan turunan secara umum ke bidang fisika, sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Aplikasi turunan pada ilmu ekonomi
Tinjaulah sebuah perusahaan PT. NOM. Jika NOM menjual x satuan barang tahun ini, NOM akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p bergantung pada x karena bilamana NOM akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan NOM diberikan oleh R(x) = xp(x), jumlah satuan kali tiap harga satuan.
Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, NOM akan mempunyai biaya total, C(x). Ini biasanya berupa jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dsb) ditambah biaya tidak tetap, yang secara langsung bergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba, p(x). Laba adalah selisih antara pendapatan dan biaya, yakni
P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Hal yang harus diperhatikan adalah perlunya membedakan masalah ekonomi dengan masalah fisika. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit (Anda tidak dapat membuat atau menjual 0,23 pesawat televisi atau π aki mobil. Jadi, fungsi R(x), C(x), dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x = 0, 1, 2, … . Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari pemodelan matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuka model dari suatu masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhakan beberapa anggapan. Ini berarti bahwa jawaban yang kita peroleh hanya menghampiri jawaban yang kita cari salah satu alasan bahwa ekonomi merupakan ilmu yang sedikit kurang sempurna. Seorang ahli statistik terkenal mengatakan : “Tidak ada model yang akurat, tapi banyak model yang bermanfaat.”
Suatu masalah yang berkaitan bagi seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi C(x) dan p(x). Dalam hal yang sederhana, C(x) dapat berbentuk
C(x) = 10.000 + 50x
Jika demikian, Rp10.000,00 merupakan biaya tetap dan Rp.50x,00 merupakan biaya tidak tetap, berdasarkan pada biaya langsung Rp.50,00 untuk setiap sauna yang diproduksi. Barangkali contoh yang lebih umum adalah :
C(x)=10.000+45x+100√x
Perhatikanlah bahwa dalam kasus ini rata-rata biaya tidak tetap tiap satuan adalah :
(45x+100√x)/x=45+100/√x
Suatu nilai yang berkurang apabila x bertambah (efisiensi dari besarnya produksi).
Pemilihan fungsi-fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang tidak jelas . Kadangkala keduanya dapat ditentukan dari anggapan-anggapan dasar. Dalam kasus lain, kajian cermat tentang pengalaman perusahan akan menyarankan pilihan-pilihan yang layak. Kadang-kadang kita harus melakukannya hanya dengan pikiran saja.
Penggunaan kata marjinal. Andaikan NOM mengetahui funsi biayanya C(x) dan untuk sementara merencanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktur utama Toko Buku Karisma ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika NOM memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah itu akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian, akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.
Direktur Utama Toko Buku Karisama menanyakan nilai ∆C/∆x pada saat ∆x=1. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini sangat dekat terhadap nilai
lim┬(∆x→0)⁡〖∆C/∆x〗
Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Kita para matematikawan mengenalnya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x.
Dengan cara yang serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dx, dan laba marjinal sebagai dP/dx.
Penerapan Turunan parsial dalam bidang ekonomi antara lain digunakan untuk menghitung fungsi produksi, konsep elastisitas, angka pengganda, optimisasi tanpa kendala, dan optimisasi dengan kendala (fungsi lagrange).

Aplikasi turunan pada fisika
Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Contoh historik lainnya adalah penggunaan Matematika di hukum gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama.
Turunan Parsial yang mempunyai aplikasi luas dalam bidang sains dan teknik, digunakan untuk memecahkan masalah kompleks. turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Turunan Parsial, Turunan Fungsi Terhadap Fungsi, Turunan Total sering digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.
Turunan Parsial di Bidang fisika bisa dicontohkan sebuah benda yaitu Bandul yang diikat menggunakan tali yang dicantolkan di ujung pegas.. Lalu bandul itu digerakkan kesamping dan membentuk sudut tertentu sesuai arah gerakkannya. Setelah itu, amati getaran pada bandul itu saat berayun.
Cara mendapatkan persamaan gerak dari system ini dengan cara newtonian dan lagrangian, cara newtonian dengan cara dibuat vektor satuan x, y, z dengan gaya yang mengikutinya, sedangkan lagrangian dicari energi kinetik dan potensialnya.
Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika saya ambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx2+v0x+y0 dimana y0 menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang pertama y’ = dy/dx, maka akan menjadi y= gx+v0, dimana v0 menyatakan kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadi y=g (konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.
Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.
Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

Aplikasi turunan dalam dunia farmasi
Aplikasi turunan gak akan jauh dari mencari titik maksimum/minimum dari suatu fungsi. Misalnya kalau ada fungsi yang bisa menggambarkan bioavailabilitas obat di dalam darah berdasarkan waktu, dengan turunan bisa dicari kapan bioavailabilitas maksimum/minimum didapat setelah obat diminum/disuntikkan.